1. 모자 문제
어떤 파티에서 집사가 손님들의 모자를 받아 보관하며 모자에 손님 이름을 적은 작은 메모지를 붙여놓는다. 손님은 모두 100명이었는데, 그 집사는 급한 용무로 퇴근하고 파티가 끝났을 때 다른 집사가 무작위로 모자를 나누어 주었다. 그러면 손님 100명 모두가 자신의 모자를 돌려받지 못할 확률은 얼마일까?
2. 배우자 선택 문제
홍길동은 훌륭한 배우자를 만나고자 결혼 중매 회사에 등록했다. 그런데 중매 회사에서 조건을 내세웠다. “저희가 100명까지 한 사람씩 차례로 소개하겠습니다. 만난 사람이 마음에 들면 말씀하세요. 그러면 그분과 맺어집니다. 한 사람, 한 사람 만날 때마다 결정하시되, 퇴짜 놓으신 분은 다시 만날 수 없습니다.”
이 상황에서 당신이 홍길동이라면 어떻게 하시겠는가? 설마 첫 후보가 마음에 든다고 덜컥 선택하지는 않으실 거다. 뒤에 더 좋은 후보가 있을 가능성이 크니까 말이다. 그렇다고 무턱대고 뒤로 미룰 수는 없을 터. 뒤에 남은 후보들을 믿다가 정작 좋은 후보를 놓칠 수도 있으니까. 그렇다면 몇 번째까지 그냥 보내고, 그다음부터는 전에 본 후보들보다 좋은 사람을 만나면 그 사람을 택해야 할까?
생각해 보고, 당신의 결론을 아래 답과 비교해 보시기 바란다.
× ÷ = / < > ( ) √ ∞ ∫ ∑ ∵ ∴ ∆ %
모든 손님이 잘못된 모자를 가지고 나갈 확률은 약 37%다. 이상하게도 손님 수가 100명이든 백만 명이든 상관없이 그 확률은 37% 정도다. 정확히 말하면 손님 수가 많아질수록 확률은 𝒆의 역수, 즉 1/𝒆=0.3679·····로 수렴한다. 이에 대한 계산 방법은 위에 열거한 기호를 다 써야 하므로 여기서는 생략하겠다.
두 번째 문제의 답도 37명이다. 즉 37명을 그냥 보내고, 38번째 후보부터는 그전의 37명 모두보다 좋은 후보가 있으면 그를 택하라는 것이다. 열 명만 볼 마음이면 서너 명까지는 그냥 보내고 그다음부터 좋은 사람은 잡으라는 뜻이다. 그래야 최고의 배우자를 선택할 확률이 가장 크다고 한다.
역시 상대 수가 늘어날수록 1/𝒆에 가까워진다. ‘비서 고르기 문제’로도 알려진 이 문제는 수학이나 과학 잡지에 여러 차례 소개된 바 있다고 한다.
여러분의 경우는 어땠나? 설마 앞으로 만날 인원수를 정해 놓고 37%를 그냥 보냈던 것은 아니리라.
